
という疑問に現役プログラマーの視点から答えていきたいと思います。結論からいうと文系でもプログラマーなれます。
そもそも、現場のプログラマーは文系だらけです。理系の大学出身者の方が少ないです。この記事を書いている僕も底辺高校→Fランク大学文学部→営業職からプログラマーになりました。
いまのところ仕事で数学が必要になったことはありません。
文系でもプログラマーになれるのか
数学が必要なプログラミング言語はPythonだけ

僕の知っている限りweb業界で数学が必要なプログラミング言語はPythonだけです。
Pythonにはmathモジュールという数学の計算用のモジュールがあります。三角関数・平方根・絶対値の計算のために使います。計算自体はPCがしてくれますが、

だと困るので、簡単に知っておいたほうがよいです。Phtyonを使う場合でもサーバーサイド言語として使う場合は数学は不要ですが、機械学習をやりたい場合は数学の知識は必須です。
Python以外は数学は必要なし

web業界で使われているPython以外のメジャー言語、PHP、Ruby、JavaScript、Perl、Javaなどは数学は必要ありません。
JavaScriptに関しては超高度になると数学の要素がでてきますが、そのレベルまで達する人は稀でしょう。少なくとも僕のいるweb業界で数学が出てくるのはPythonだけです。
元々プログラミングは数学がベースにありますが、巷で使われているメジャー言語は数学ができなくても書けるように設計されています。そのため、プログラマーが数学に触れる機会は全くありません。
プログラミングに必要なのは数学ではなく英語

国語、算数、理科、社会、英語の5教科の中で、プログラミングを習得する上で圧倒的に重要なのが英語です。
計算はPCが得意ですが翻訳は大の苦手です。数学はPCが代わりにやってくれますが、英語をPCにやらせると文章はぐちゃぐちゃになります。
僕はプログラミングを学びたいなら数学よりも英語に強くなることをオススメします。
Pythonで出てくる難しい数学関数の使い方もググればいくらでもでてきます。しかし、出てくるのは英文です。英文を拒否反応なく読めるかどうかがプログラミングスキル上達の近道です。
情報系の大学出身者は就職で有利

ただし、情報系の大学出身者は就職で有利です。何人か情報系の大学出身の新卒を見てきましたが、大学でC言語やPhtyonなどを勉強してきているので企業で重宝されます。
もちろん、大学で学んだからと言っていきなり実務レベルの大学生は見たことありませんが

というと企業の受けはいいので、メガベンチャーなどの人気企業に採用されやすくなります。
もし、プログラマーになりたい高校生がいたら、情報系の大学に入ることをオススメします。
とはいえ、情報系の大学が流行ってきたのは最近の話なので、現役で働いているプログラマーで情報系の大学出身の人は見たことありません。
ほとんどみんな高卒だったり、法学部だったり、経済学部だったりを経由してからプログラマーになっています。
結論 文系でもプログラマーになれる

文系出身者でも問題なくプログラマーになれます。数学が必要なメジャー言語はPythonのみです。基本的には数学よりも英語が重要なので、英語の心配をしたほうがよいでしょう。
もし情報系の大学出身なら就職に有利ですが、現状はほぼいないので企業も文系理系関係なく採用しているのが現状です。
もし文系出身でプログラマーになれるのかな、と悩んでいる人がいたら問題なくなれるので、ぜひ目指してみて下さい。